掌握微积分的基石，从熟记每一个导数公式开始。本页面提供从基础到高级的导数公式大全，附带详细推导逻辑与易错点解析。
在微积分学习中，熟练记忆基本初等函数的导数公式是解决一切复杂求导问题的前提。以下表格汇总了高中及大学一年级阶段最常接触的导数公式。建议学习者不仅死记硬背，更要理解其背后的几何意义（即切线斜率的变化率）。
| 函数类型 | 函数表达式 f(x) | 导数表达式 f'(x) | 备注/定义域限制 |
|---|---|---|---|
| 常数函数 | C (C为常数) | 0 | 常数没有变化率 |
| 幂函数 | xn | n·xn-1 | n∈Q，当n<0时x≠0 |
| 指数函数 | ax | ax·ln a | a>0, a≠1 |
| 自然指数 | ex | ex | 唯一导数等于自身的函数 |
| 对数函数 | logax | 1/(x·ln a) | a>0, a≠1, x>0 |
| 自然对数 | ln x | 1/x | x>0 |
许多初学者容易混淆 y = xa (幂函数) 和 y = ax (指数函数) 的求导公式。
示例解析：求 y = 5x4 + 2x 的导数。 根据加法法则，分别求导后相加： y' = (5x4)' + (2x)' = 5·4x3 + 2x·ln2 = 20x3 + 2xln2。
三角函数的导数公式在物理振动、波动以及信号处理中有着广泛应用。需要注意的是，三角函数求导时，角度必须以弧度制为单位。如果角度是角度制（如sin(30°)），需先转换为弧度，否则公式不成立。
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
注意余弦求导多一个负号。记忆技巧：正弦求导变余弦，余弦求导变负正弦。
(tan x)' = sec2x
(cot x)' = -csc2x
同样注意负号。sec x 是正割，csc x 是余割。
(sec x)' = sec x · tan x
(csc x)' = -csc x · cot x
这两个公式较少直接使用，常通过倒数关系转化为sin/cos求导。
反三角函数的求导结果通常包含根式或分式，是考试中的高频考点，尤其是定义域的隐含限制。
| 函数 | 导数 | 定义域 |
|---|---|---|
| arcsin x | 1 / √(1 - x2) | x ∈ (-1, 1) |
| arccos x | -1 / √(1 - x2) | x ∈ (-1, 1) |
| arctan x | 1 / (1 + x2) | x ∈ R |
| arccot x | -1 / (1 + x2) | x ∈ R |
记忆技巧：带“a”的反三角函数（arcsin, arccos, arctan, arccot）中，带“c”的（arccos, arccot）求导后带有负号。arcsin和arccos的分母相同，arctan和arccot的分母相同。
实际遇到的函数往往不是单一的基本初等函数，而是经过加减乘除或嵌套组合而成的。此时必须依靠导数运算法则。
函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。
[u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)
示例：求 y = sin x + x2 - ex 的导数。
y' = (sin x)' + (x2)' - (ex)' = cos x + 2x - ex。
乘法法则（前导后不导 + 后导前不导）：
[u(x) · v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
除法法则（上导下不导 - 上不导下导，除以底的平方）：
[u(x) / v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]2
示例：求 y = x2 · sin x 的导数。
y' = (x2)'sin x + x2(sin x)' = 2x sin x + x2 cos x。
链式法则是处理复合函数求导的核心工具。复合函数 y = f(g(x)) 的导数为：
y' = f'(g(x)) · g'(x)
通俗理解：“外层对里层求导，再乘以里层对x求导”。
示例：求 y = sin(x2) 的导数。
令 u = x2，则 y = sin u。
y' = (sin u)' · u' = cos u · (x2)' = cos(x2) · 2x = 2x cos(x2)。
当导数本身还可以继续求导时，就产生了高阶导数。二阶导数 y'' 或 d2y/dx2 在物理学中代表加速度，在数学中反映曲线的凹凸性。
| 函数 f(x) | 一阶导 f'(x) | n阶导 f(n)(x) |
|---|---|---|
| ex | ex | ex |
| sin x | cos x = sin(x + π/2) | sin(x + nπ/2) |
| cos x | -sin x = cos(x + π/2) | cos(x + nπ/2) |
| ln x | 1/x = x-1 | (-1)n-1(n-1)! x-n |
对于形如 F(x, y) = 0 的方程，y 不能显式表示为 x 的函数时，称为隐函数。求导技巧是将 y 视为 x 的函数（即 y=y(x)），利用链式法则对等式两边同时关于 x 求导，然后解出 y'。
示例：由方程 x2 + y2 = 25 确定隐函数 y，求 y'。
两边对 x 求导：2x + 2y·y' = 0
解得：y' = -2x / 2y = -x/y。
导数公式不仅是代数运算的工具，更是连接函数图像与局部性质的桥梁。
函数 y = f(x) 在点 (x0, y0) 处的导数 f'(x0)，几何上表示曲线在该点处切线的斜率 k。
切线方程公式：y - y0 = f'(x0)(x - x0)
实战案例：求曲线 y = x3 在点 (1, 1) 处的切线方程。 1. 求导：y' = 3x2。 2. 计算斜率：k = y'|x=1 = 3(1)2 = 3。 3. 代入点斜式：y - 1 = 3(x - 1) ⇒ y = 3x - 2。
利用一阶导数 f'(x) 的正负可以判断函数的单调性：
理解导数公式的来源有助于加深记忆。以下是微积分发展史上的关键节点：
艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在研究物体运动时提出了“流数”（Fluxions）的概念，即我们现在所说的导数。他主要关注物理应用，如速度与加速度的关系。
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）独立发明了微积分，并创造了我们至今仍在使用的 dy/dx 符号。他系统地推导了基本初等函数的导数公式，并提出了乘积法则等运算规则。
奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）通过极限概念严格定义了导数，消除了早期微积分中关于“无穷小量”的逻辑模糊，使导数公式的推导建立在坚实的数学基础之上。
因为 arcsin x 和 arccos x 是互余函数，即 arcsin x + arccos x = π/2。常数的导数为0，所以它们的导数之和必须为0，即 f'(x) + g'(x) = 0，故 f'(x) = -g'(x)。
ex 是微积分中唯一的非零函数，其导数等于自身。这意味着在任何点，该函数的变化率（斜率）等于该点的函数值。它在人口增长、放射性衰变、复利计算等自然现象中建模至关重要。
ln a 是底数为 e 的对数。对于一般底数 a 的指数函数 ax，其变化率不仅取决于 x，还取决于底数 a 的大小。a 越大，增长越快，导数也越大，这个倍数就是 ln a。例如 a=e 时，ln e = 1，所以导数就是 ex 本身。
最直接的应用是运动学：位移 s(t) 的导数是速度 v(t)，速度 v(t) 的导数是加速度 a(t)。此外，在电路中，电流是电荷量的导数，电感两端的电压是电流变化率的导数。
建议学习者按照以下顺序掌握导数公式：
1. 熟记基本初等函数导数公式表（幂、指、对、三角）。
2. 精通四则运算法则与链式法则（这是求导的核心技能）。
3. 掌握隐函数求导与参数方程求导。
4. 通过大量例题练习，总结各类复合函数的求导模式。
5. 深入理解导数的几何与物理意义，实现从“算”到“用”的跨越。